1. 二元一次方程式的圖形(2-2)
觀念 1:判斷特定點是否在直線上
【題目】:若點 $(3, a)$ 在直線 $y = \frac{1}{3}x - 2$ 上,則 $a =$ ?
💡 提示:把坐標數字代入算式中($x$ 換成 $3$,$y$ 換成 $a$)解開方程式。
觀念 2:根據方程式的係數正負號判斷象限
【題目】:已知 $a<0, b>0$,下列何者是不可能為直線 $ax+y=b$ 圖形通過的象限?
💡 提示:找出直線與 $x$ 軸、 $y$ 軸的兩個交點(畫表格讓 $x$ 或 $y$ 帶入 $0$),並在坐標平面上畫出草圖。
觀念 3:找兩直線的交點坐標
【題目】:在坐標平面上,求出直線 $2x-y=4$ 與 $x+y=5$ 的交點坐標。
💡 提示:將兩個方程式組成「二元一次聯立方程式」,解出 $x$ 和 $y$ 就是交點坐標。
2. 比例與比例式(3-1)
觀念 4:將各式化為最簡整數比
【題目】:將 $36:108$ 化為最簡整數比。
💡 提示:找出兩數的最大公因數,同時除以相同的數字直到不能再除。
觀念 5:由方程式推導比例關係
【題目】:已知 $7x = 4y$,求 $x:y$ 的比例為何?
💡 提示:數字交叉對調,即 $x$ 對應 $4$,$y$ 對應 $7$。
觀念 6:利用等值比例式求解未知數
【題目】:若 $x:5 = 6:15$,則 $x =$ ?
💡 提示:口訣「內項相乘 = 外項相乘」,即 $5 \times 6 = 15 \times x$。
3. 正比與反比(3-2)
觀念 7:從情境中判斷正比反比
【題目】:下列哪一個選項中的 $y$ 與 $x$ 成反比?
(A) 1枝筆賣20元,買 $x$ 枝共付 $y$ 元
(B) 長 $x$、寬 $y$ 的長方形面積為 30
💡 提示:相除固定(倍數一起變大)是正比;相乘固定(面積不變)是反比。
觀念 8:正比數值計算
【題目】:若 $y$ 與 $x$ 成正比,已知 $x=24$ 時 $y=10$。當 $x=12$ 時,$y =$ ?
💡 提示:先設 $y=kx$,代入算出 $k$ 後,再把新的 $x$ 代入算 $y$。或者觀察 $x$ 從 24 變 12 是除以 2,那 $y$ 也要除以 2。
觀念 9:反比數值計算
【題目】:若 $y$ 與 $x$ 成反比,且當 $x=6$ 時 $y=8$。求當 $x=12$ 時,$y =$ ?
💡 提示:先設 $xy=k$,兩數相乘找出固定的數字 $k$。($6 \times 8 = 48$)
4. 常見的生活情境應用題
情境 A:容量分配與單位換算
【題目】:某飲料調製比例為「咖啡 $3$ 份、鮮奶 $2$ 份」。若想要調製總容量為 $500$ 毫升的飲料,需要多少毫升的鮮奶?
💡 提示:全部有 $5$ 份,先算出一份是多少 ($500 \div 5$),再乘上鮮奶的份數。
情境 B:買賣與計價(正比表格)
【題目】:已知豬肉售價與重量成正比。 $20$ 公克賣 $15$ 元,請問買 $200$ 公克的豬肉需要付多少元?
💡 提示:觀察倍數關係,$20$ 變成 $200$ 是 $10$ 倍,所以價錢也要乘上 $10$ 倍。